CALCULO DIFERENCIAL

El cálculo diferencial es una parte del cálculo infinitesimal y del análisis matemático que estudia cómo cambian las funciones continuas según sus variables cambian de estado. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada.

LIMITES

En análisis real y complejo, el concepto de límite es la clave de toque que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a un determinado valor.

Una definición informal del límite matemático indica que el límite de una función f(x) es T cuando x tiende a s, siempre que se puede hallar para cada ocasión un x cerca de s de manera tal que el valor de f(x) sea tan cercano a T como se pretenda.

EJEMPLO:

HALLAR EL LIMITE DE

f(x) = |x-2|/ x-2

LIMITE CON EL TEOREMA DEL EMPAREDADO

Este teorema enuncia que si dos funciones tienden al mismo límite en un punto, cualquier otra función que pueda ser acotada entre las dos anteriores tendrá el mismo límite en el punto.

Uno de los usos más frecuentes del teorema del sándwich es en la resolución de límites indeterminados. En particular, permite afirmar que el límite

\lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {sen}(kx)}{kx}}=1

Algunas indeterminaciones pueden resolverse despejando dicha expresión de la expresión general y aplicando propiedades del límite con el resto.

Este resultado es muy importante, pues permite, entre otras cosas, calcular las derivadas de las funciones trigonométricas en un punto.

EJEMPLO POR EL METODO DEL EMPAREDADO

LIMITE CON CAMBIO DE VARIABLE

LIMITES TRIGONOMETRICAS

Los límites trigonométricos se dan al hacer uso de las identidades trigonométricas en una función y que ésta a la vez tienda hacia cero. El desarrollo de un límite trigonométrico puede ser resuelto mediante límites notables o propiedades básicas de las identidades trigonométricas.

EJEMPLO:

DERIVADAS CON LA REGLA DE LA CADENA

La regla de la cadena establece que la derivada de f(g(x)) es f'(g(x))⋅g'(x). En otras palabras, nos ayuda a derivar funciones compuestas. Por ejemplo, sin(x²) es una función compuesta porque puede construirse como f(g(x)) para f(x)=sin(x) y g(x)=x².

EJEMPLO:

Derivadas de funciones implícitas

Las funciones se pueden clasificar en dos categorías generales, funciones implícitas y funciones explícitas.
Una función se denomina implícita cuando su salida no está definida en términos de su entrada, explícitamente.
Las funciones algebraicas y las funciones inversas corresponden a la categoría de funciones implícitas.
Una función que se define implícitamente puede ser diferenciada con la ayuda de una regla de la cadena, denominada diferenciación implícita.
La mejor forma de diferenciar una función implícita es diferenciando cada lado de la ecuación de la función explícitamente.

DIRECCION DE UNA CURVA

Cesar Reyes

Sea la función

$y = f(x)$

Se dice que la derivada de una función con respecto a una variable independiente ubicado en un punto cualquiera con coordenadas $({x}_{0}, {y}_{0})$ se obtiene la recta tangente.

$\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{P({x}_{0},{y}_{0})} = {m}_{tan} = \tan{\alpha}$

La función tendrá una dirección bajo ese punto $P({x}_{0},{y}_{0})$ y es:

$\displaystyle \alpha = \arctan{ \left[ \frac{dy}{dx}{|}_{P({x}_{0},{y}_{0})} \right]}$

Donde $\alpha$ representa la dirección de la recta tangente.

Cálculo Diferencial I

domingo, 12 de septiembre de 2021